Esercizio
Dato il sistema dinamico continuo lineare in :
b) trovare quali condizioni iniziali danno luogo ad orbite con
l'origine come limite per .
Esercizio
Sia dato il sistema dinamico newtoniano ad un grado di
libertà:
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a) Discretizzare il sistema dinamico continuo con passo ,
ottenendo un'equazione alle differenze finite del secondo ordine,
con l' approssimazione:
.
Trasformare l'equazione alle differenze finite del secondo ordine
in un sistema dinamico discreto:
b) Trovare i punti fissi .
c) Calcolare la matrice jacobiana
e provare che il punto fisso corrispondente alla sella del sistema
dinamico continuo è sempre iperbolico.
d) Per quali valori di il punto corrispondente al punto di
equlibrio con linearizzato di tipo centro è un punto fisso
ellittico?
Esercizio
Un asta di massa trascurabile e lunghezza si
muove (senza attrito) tenendo sempre un estremo sull'asse orizzontale
ed un estremo sull'asse verticale
. All'asta è attaccato un
punto materiale di massa
, in modo che la sua distanza dall'estremo
sull'asse
è
, con
. Il punto materiale è anche
soggetto ad una accelerazione di gravità, rivolta nel verso negativo
dell'asse
e di intensità fissa
.
a) Parametrizzare con il moto del punto materiale, usando come parametro
l'angolo nel piano
tra l'asse
(nel senso delle
negative) e l'asta (si veda la Figura B.3).
b) Scrivere l'energia cinetica e l'energia potenziale del punto materiale.
c) Scrivere la lagrangiana, la hamiltoniana e le equazioni di Hamilton del sistema.
d) Trovare i punti di equilibrio e discuterne la stabilità.
e) Si descriva qualitativamente il moto nel piano oppure
.
f) Si trovi per quali valori della velocità angolare
una condizione iniziale
porta ad una
circolazione, cioè con
una funzione monotona (crescente
o decrescente).
(Soluzione)
Andrea Milani 2009-06-01