B.1 COMPITO PARZIALE 15 Novembre 2001

Esercizio Dato il sistema dinamico continuo lineare in ${\cal R}^3$:

$$\frac{d{X}}{d{t}}= \left[\begin{array}{ccc} {1}&{\phantom{-}0... ...1}&{-1}&{-4}\\ {0}&{\phantom{-}1}&{-1}\end{array}\right] \; X$$

a) scrivere esplicitamente tutte le orbite in funzione delle condizioni iniziali;

b) trovare quali condizioni iniziali danno luogo ad orbite con l'origine come limite per $t\to +\infty$ e per $t\to -\infty$. (Soluzione)

Esercizio Dato il sistema dinamico newtoniano ad un grado di libertà:

$$\frac{d^2{x}}{d{t}^2} = \frac 2{x^2} -\frac 3x +1 -\gamma \frac{d{x}}{d{t}}$$

considerato sul semipiano $x>0$, si consideri dapprima il caso senza dissipazione, cioè con $\gamma=0$:

a) si trovino i punti di equilibrio e se ne determini la stabilità;

b) si traccino qualitativamente le linee di livello dell'integrale dell'energia;

c) si descrivano l'insieme $\alpha$-limite e quello $\omega$-limite dell'orbita con condizioni iniziali $x=3/2, y=dx/dt=0$.

Si consideri quindi il caso con dissipazione, con $0<\gamma<2$:

d) si determini la stabilità dei punti di equilibrio;

e) si traccino qualitativamente le separatrici dei punti di sella nonlineare e si tratteggi il bacino di attrazione del pozzo;

f) si dimostri che l'orbita con condizioni iniziali $x=3/2, y=dx/dt=0$ ha limite per $t\to +\infty$;

g) (facoltativo) si dimostri che per l'orbita $(x(t), y(t))$ con condizioni iniziali $x=2, y=dx/dt=1$ va all'infinito per $t\to +\infty$.

(Soluzione)