A.4 SERIE DI FUNZIONI

Definizione:

Una serie di funzioni $F_k\;:\; X\; \longmapsto\; F_k(X)$, definite su $W\subset{\bf R}^n$

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\,F_k(X)$$


si dice uniformemente convergente su $W$ alla funzione $F(X)$ se, per ogni $\varepsilon>0$, esiste un intero $m$ tale che

$$\left\vert\sum_{k=0}^{m}\,F_k(X)-F(X)\right\vert< \varepsilon\hspace{5mm},\hspace{5mm}\forall X\in W\;.$$


L'intero $m$ dipende da $\varepsilon$ ma non da $X$.

Una serie di potenze è una serie di funzioni ciascuna rappresentata da un monomio: per esempio in una sola variabile $x$

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\, C_k\,x^k\;.$$

Ogni serie di potenze ha un raggio di convergenza $r$ tale che per $\vert x\vert<r$ la serie converge ad una funzione $f(x)$, e converge uniformemente su ogni insieme della forma $\vert x\vert\leq r_1<r$; non è escluso il caso in cui $r=+\infty$ (come per la serie esponenziale). Questo si ottiene applicando il teorema seguente. Se una serie

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\, A_k$$

dove i termini $A_k$ sono vettori di ${\bf R}^n$ (anche ${\bf C}^n$, o matrici) converge in norma, cioè esiste una norma $\vert\vert A_k\vert\vert$ per cui la serie numerica

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\, \vert\vert A_k\vert\vert$$

è convergente, allora anche la serie è convergente.

Questo teorema in sostanza equivale all'affermazione che lo spazio ${\bf R}^n$ (o ${\bf C}^n$) è uno spazio metrico completo.

All'interno del raggio di convergenza, la serie converge ad una funzione $f(x)$ derivabile, e la derivata è la somma della serie ottenuta derivando termine a termine

$$f'(x)= \sum_{k=0}^{+\infty}\, k\,c_k\,x^{k-1}\;,$$

che ha lo stesso raggio di convergenza.

Date due serie di potenze, se esse sono convergenti e convergenti in norma:

$$\sum_{k=0}^{+\infty} \; A_k\,t^k = A(t)\hspace{5mm},\hspace{5mm} \sum_{k=0}^{+\infty} \; B_k\,t^k = B(t)$$

$$\sum_{k=0}^{+\infty} \; \vert\vert A_k\vert\vert\,\vert t\ve... ...{+\infty} \; \vert\vert B_k\vert\vert\,\vert t\vert^k <+\infty$$

allora la loro serie prodotto secondo Cauchy è convergente in norma, e converge alla funzione prodotto $A(t)\, B(t)$.

Una serie uniformemente convergente di funzioni continue ha per limite una funzione continua.

Bibliografia :

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Prodi, G. : Lezioni di Analisi Matematica, Parte II, Editrice Tecnico Scientifica, Pisa, 1974.

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Giusti, E. : Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, Torino, 1989.