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Soluzioni del capitolo 7


PROBLEMA 7.1   Al lancio, se la velocità ha modulo tex2html_wrap_inline46094 :

displaymath52248

mentre sull'orbita di trasferimento dopo il lancio

displaymath52250

Eguagliando le due espressioni per E si ricava tex2html_wrap_inline46094 :

displaymath52256

in cui il secondo termine esprime il fatto che il lancio avviene ad una velocità maggiore della prima velocità cosmica. All'apogeo tex2html_wrap_inline46032 la stessa orbita ha velocità tex2html_wrap_inline46084 , tale che il momento angolare è uguale a quello al lancio:

displaymath52262

mentre l'orbita circolare ha velocità tex2html_wrap_inline52264 , perciò bisogna eseguire all'apogeo una manovra per incrementare la velocità di tex2html_wrap_inline52266 . In conclusione l'incremento di velocità totale è

eqnarray29214

ed il rapporto con la prima velocità cosmica è

displaymath52268


PROBLEMA 7.24   Raccogliendo il fattore costante (che non influisce sulle equazioni di Lagrange) tex2html_wrap_inline52270 si trova una funzione di Lagrange riscalata L che dipende da due parametri positivi tex2html_wrap_inline52274 e b=k/m:

displaymath52278

per cui le equazioni di Lagrange sono:

displaymath52280

La soluzione si trova dagli autovalori di tex2html_wrap_inline52282 , che sono tex2html_wrap_inline52284 , e dagli autospazi che sono le diagonali: passiamo quindi in coordinate tex2html_wrap_inline52286 :

displaymath52288

mettendo in evidenza le oscillazioni proprie con frequenze tex2html_wrap_inline52290 e tex2html_wrap_inline52292 ; si nodi che l'oscillazione propria in cui i due pendoli sono in fase ha la stessa frequenza che i pendoli avrebbero se fossero disaccoppiati, mentre l'oscillazione propria in antifase ha una frequenza maggiore, tanto più alta quanto forte è l'accoppiamento b=k/m.


Andrea Milani
Thu Aug 14 11:30:04 MET DST 1997