INTRODUZIONE

Questo libro è stato pubblicato nel 2002, ed è già stato usato per sette anni accademici all'Università di Pisa come testo del corso di Sistemi Dinamici nel corso di laurea triennale in Matematica; è stato adottato anche in altre università.

Mi è quindi sembrata utile un'edizione riveduta e corretta, che elimina i refusi che sono stati individuati da me, dal dr. G. F. Gronchi che ha tenuto le esercitazioni, e sopratutto dagli studenti che me li hanno segnalati. Ho colto l'occasione per fare anche delle modeste modifiche e aggiunte, che hanno riguardato in particolare il Capitolo 5, che introduce il formalismo della meccanica analitica, sia pure in una forma molto semplice, ed è quindi molto importante per il prosieguo degli studi.

Colgo anche l'occasione per alcune considerazioni, fondate sull'esperienza nell'uso di questo testo, e alcuni suggerimenti rivolti sia ai docenti che agli studenti. Questo corso è attualmente rivolto agli studenti del terzo anno del corso di laurea triennale in Matematica, a cui si aggiungono alcuni studenti di Fisica, generalmente di anni superiori.

L'esperienza ha dimostrato che questa è la collocazione più giusta in un piano di studio, perchè questo corso utilizza ampiamente il calcolo differenziale in più variabili e, sia pure in misura minore, anche il calcolo integrale in più variabili. Ci sono sempre alcuni studenti abbastanza preparati e motivati da seguire con profitto questo corso al secondo anno, in particolare quelli a cui piace utilizzare subito in applicazioni significative dei teoremi appena imparati, come quelli della funzioni implicite e della funzione inversa; però ci sono anche molti studenti che preferiscono avere il tempo di digerire i nuovi concetti appresi al secondo anno.

Naturalmente per gli studenti del quarto anno questo corso è relativamente facile dal punto di vista concettuale, ma forse proprio per questo c'è il rischio di sottovalutarne la difficoltà, che consiste in un'impostazione applicativa.

Come dice Enrico Bombieri, che è stato uno dei miei maestri, non esiste una matematica applicata, ma esistono le applicazioni della matematica. Con questo si intende dire anche che non esistono criteri di verità e di rigore matematico diversi, per la matematica destinata alle applicazioni, rispetto a quella destinata ad un uso soltanto interno alla matematica stessa.

Però io dico che esiste una mentalità da matematico applicato, per cui occorre lavorare per problemi, prendendo i metodi che servono da tutta la matematica; e i problemi vanno risolti in modo esplicito e concreto ogni volta che questo è possibile, solo se è inevitabile limitandosi ad una risposta parziale, qualitativa, approssimata o puramente esistenziale. Perciò in questo corso sono anche molto importanti gli esempi, gli esercizi e i problemi, che per alcuni studenti di matematica che hanno assorbito un'impostazione particolarmente astratta possono risultare non tanto facili da svolgere.

Nel corso della revisione dell'ordinamento della laurea triennale in Matematica, e della definizione dell'ordinamento della nuova laurea magistrale in Matematica (che rimpiazzerà dal 2009-2010 la laurea specialistica), è stato deciso, anche sulla base dell'esperienza fatta da me e dal dr. Gronchi, di destinare il corso di Sistemi Dinamici al primo semestre del terzo anno per tutti gli studenti della laurea breve (l'anticipazione al secondo anno è sempre possibile, ma non fa parte del piano di studio consigliato).

Si è poi deciso di offrire un nuovo corso di Istituzioni di Fisica Matematica per la laurea magistrale, con tra l'altro l'obiettivo di completare le basi di meccanica analitica in più variabili, compresi i principi variazionali; questo nuovo corso usa come prerequisiti i contenuti del corso di Sistemi Dinamici.

Data questa scelta, la lunghezza e complessità del corso, come viene presentata in questo testo, appare adeguata, tenendo conto che si tratta di un corso semestrale, con 30 ore di lezioni frontali e 30 ore di esercitazioni, due compiti scritti parziali, esame scritto e orale.

Contenuto del libro e guida alla lettura

Il libro inizia con un Capitolo 1 dedicato alle definizioni di sistema dinamico, sia continuo (cioè basato su di un'equazione differenziale ordinaria) sia discreto (cioè basato su di un diffeomorfismo). Il Capitolo 2 presenta la soluzione completa ed esplicita del caso di sistemi dinamici continui lineari, con richiami alla teoria degli autovalori e delle forme canoniche di Jordan.

Nel Capitolo 3 si introducono i principali strumenti della teoria qualitativa dei sistemi dinamici continui, dalla definizione di stabilità ai due metodi di Lyapounov per verificarla, dai metodi per descrizioni qualitative e grafiche ai teoremi di Hadamard-Perron e Poincaré-Bendixon.

Nel Capitolo 4 viene svolta la teoria elementare dei sistemi dinamici discreti, dalla soluzione di quelli lineari ai metodi di discretizzazione per ottenere un'approssimazione discreta di un sistema dinamico continuo. Nel Capitolo 5 viene presentata la teoria dei sistemi dinamici hamiltoniani e lagrangiani, con le più semplici applicazioni meccaniche, e delle trasformazioni canoniche; teoria però limitata ad un solo grado di libertà, e quindi a casi integrabili.

Per il Capitolo 6 ho scelto una presentazione semplificata, ma che spero risulti suggestiva, dei sistemi dinamici caotici, utilizzando l'esempio più semplice delle mappe conservative in dimensione due, in particolare la celebre mappa standard. Questo capitolo si basa molto più degli altri su grafica realizzata al calcolatore, ed ha quindi anche un carattere sperimentale (nel senso di esperimenti numerici), pur contenendo definizioni ed enunciati rigorosi.

Nell'insegnamento si può anche usare un ordine diverso, per esempio con il Capitolo 5 prima del 4, concentrando alla fine i sistemi dinamici discreti. In generale non è difficile ridurre il programma omettendo qualche argomento; sconsiglierei però di omettere completamente il capitolo sul caos, che è per certi versi più difficile ma è culturalmente necessario. Se ci si limita a trattare sistemi dinamici conservativi ad un grado di libertà, come a mio parere è inevitabile in un corso così breve, si rischia di dare agli studenti la falsa impressione che tutti i sistemi conservativi siano integrabili, il che è veramente diseducativo.

Il testo è accompagnato da 64 esercizi e problemi svolti, compresi quelli dei compiti assegnati agli studenti in un intero anno accademico. Le soluzioni sono fornite nella copia su CD-ROM, assieme ai programmi di calcolo utili per esperimenti al calcolatore, in particolare sul caos, e a illustrare i principali esempi con semplici tecniche di grafica al calcolatore.

Il CD-ROM, venduto assieme al volume, contiene anche la versione ipertestuale (da consultare con un browser WWW) con figure a colori, particolarmente utile per ricercare specifiche definizioni ed enunciati, e anche per seguire un ordine di lettura diverso da quello sequenziale. Per chi non ama leggere sullo schermo del computer c'è anche il tradizionale indice analitico e, nella versione stampata, ci sono i rimandi a margine delle pagine, che possono portare allo stesso risultato.

Ringrazio le Edizioni Plus per avere prontamente aderito a questo progetto, la cui ambizione è che questo libro possa diventare uno strumento per l'insegnamento non solo nella nostra università. L'Università di Pisa ha spesso avuto in passato il ruolo di produrre libri di testo che hanno esercitato una certa influenza sull'insegnamento universitario della matematica, per esempio i libri dei miei maestri Prodi e Stampacchia. Riconquistarsi questo tipo di influenza dovrebbe essere un nostro obiettivo.